Арифметическая прогрессия

Что такое арифметическая прогрессия

Прогрессия — это особый вид числовой последовательности, в которой между любыми двумя соседними членами выполняется определенное математическое правило. Это может быть, например, фиксированная разность или отношение, которые связывают члены последовательности. В более широком смысле, прогрессией называют такую последовательность чисел, где каждый элемент связан с предыдущим по какому-то закономерному правилу.

Иллюстрация: Банки.ру

Числовая последовательность — это упорядоченный ряд чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (индекс). Эти числа могут следовать по разным правилам: могут быть возрастающими, убывающими или случайными, однако именно прогрессия характеризуется строгими и простыми правилами для вычисления каждого следующего числа. Прогрессия отличается от случайной последовательности тем, что между ее членами существует четкое арифметическое или геометрическое соотношение.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Иными словами, каждый следующий член последовательности можно получить, прибавив к предыдущему числу постоянную величину, которая называется разностью прогрессии.

Обозначим арифметическую прогрессию как последовательность a₁, a₂, a₃, … aₙ, где для каждого натурального n выполняется равенство:

aₙ+₁ = aₙ+ d 

Здесь a₁ — первый член прогрессии, а d — постоянная разность между любыми двумя соседними членами.

Существует несколько типов числовых последовательностей, к которым относится и арифметическая прогрессия:

Арифметическая прогрессия может быть как возрастающей, так и убывающей, в зависимости от знака разности d:

• Если d > 0, прогрессия возрастающая.
• Если d < 0, прогрессия убывающая.
• Если d = 0, прогрессия состоит из одинаковых чисел.

Сумма арифметической прогрессии — это сумма всех ее членов, которая может быть вычислена с использованием специальной формулы.

Формула арифметической прогрессии

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁​ и ее разность d, то для нахождения любого члена последовательности можно воспользоваться формулой: aₙ+1 = aₙ + d

Рассмотрим пример. Пусть a₁ = 3, а разность d = 4. 

Чтобы найти  a₂, a₃ и далее, применяем формулу. 

• a₂ = a₁ + d = 3 + 4 = 7
• a₃ = a₂ + d = 7 + 4 = 11
• a₄ = a₃ + d = 11 + 4 = 15

Итак, последовательность выглядит так: 3, 7, 11, 15.

Для нахождения любого n-го члена прогрессии достаточно к первому члену добавить (n−1) разностей:

aₙ = a₁ +d(n−1)

Пример решения задачи. Пусть задана арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 5 и разностью d = 3. Необходимо найти 6-й член этой прогрессии.

Используем формулу для a₆:

 a₆ = a₁ + d(6−1) = 5 + 3 × 5 = 5 + 15 = 20

Ответ: 6-й член прогрессии равен 20.

Свойства арифметической прогрессии

Одним из важных свойств арифметической прогрессии является следующее: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних членов.

Если взять два соседних члена прогрессии, например aₙ и aₙ+₂​, то их среднее арифметическое всегда будет равно aₙ+₁​, то есть: aₙ +1 = (aₙ + aₙ+₂) / 2

Это свойство объясняет название «арифметическая» прогрессия, поскольку каждый следующий элемент образуется путем «арифметического» добавления постоянной разности d к предыдущему члену.