Непредсказуемые очереди

В прошлый раз, говоря про универсальных операционистов, я упомянул, что именно из-за этой универсальности длительность ожидания в очереди может быть непредсказуемой.
Сегодня я расскажу об этом подробнее и проиллюстрирую примерами.

Преимущество универсальных операционистов заключается в том, что они могут обслуживать всех клиентов. Но это значит, что в очереди к универсальному операционисту также стоят все клиенты.
И работа универсальных операционистов, а уж тем более любые проблемы в их работе касаются сразу всех клиентов банка.

Про снижение пропускной способности я уже рассказывал - и это проблема в реальной жизни затрагивает подавляющее большинство российских отделений банков. Но хуже всего то, что, придя в такое универсальное отделение, клиент никогда не знает, сколько времени он там проведет.

Допустим, клиент пришел забрать выпущенную карту - обычная 5 минутная операция. И в очереди перед ним могут оказаться клиенты с 3-минутными операциями, с 10-минутными, с 30 минутными и даже с более чем часовыми.
У клиента (да и у сотрудников банка) нет никакой возможности оценить, сколько времени клиент проведет в очереди. Осмотрев отделение, клиент может рассчитать, что перед ним в очереди 2 человека и еще один уже обслуживается у операциониста.

Клиент знает, что он пришел с 5-минутной операцией, но может ли он рассчитывать, что и другие клиенты будут обслуживаться примерно столько же времени? Конечно, нет. Ведь у клиентов могут быть как 5-минутные, так и 40-минутные операции.
Через 10 минут операционист завершает обслуживание клиента, но что это дает нашему герою? Может ли он хоть сколь-нибудь обоснованно предположить, что остальные клиенты будут обслуживаться 5-10 минут? Тоже нет. Новая информация не несет в себе никакой пользы. У двух оставшихся клиентов могут быть операции длительностью и по 10 минут, и по 30, то есть ожидание может занять как 20, так и 60 минут.
В утомительном ожидании проходит еще полчаса, и вот завершается обслуживание очередного клиента, но как это поможет нашему герою? 2 человека были обслужены за 40 минут. Значит ли это, что на следующего уйдет 20 минут? Определенно, нет. Этот последний может просидеть у операциониста всего 3 минуты (например, если он пришел за выпиской), а может и 53 (если он пришел разбираться с проблемными платежами по кредиту).

Никакая информация о проведенном в очереди времени, уже обслуженных клиентах и выполненных ими операциях не поможет клиенту рассчитать свое время ожидания в очереди. Каждая минута в таком банке - как неприятная лотерея: повезет или, скорее всего, не повезет.

А если в отделении несколько операционистов
Как вы думаете, насколько отличаются ситуации "1 операционист при 3 клиентах в очереди" и "3 операциониста при 9 клиентах в очереди"?
На самом деле нет существенной разницы, складывается ли ваше время ожидания из длительностей обслуживания 1-го, 2-го и 3-го клиента перед вами или 1-го, 5-го и 8-го. Главная составляющая неопределенности в том, что время складывается из трех очень разных величин.

При этом интуитивно понятно, что чем длиннее очереди и чем больше операционистов, тем ниже будет эта неопределенность. Иными словами, можно будет говорить об усреднении. Ранее я показывал, что при длине очереди в 100 человек среднее время ожидания усредняется довольно хорошо. Вот только где эта граница между "нельзя усреднять" и "можно усреднять"?
Эмпирическое правило гласит, что среднее время ожидания допустимо усреднять при длине очереди не менее 30 человек. Почему это так и насколько точен результат этого усреднения, я расскажу в одной из следующих публикаций.

А как правильно?
А теперь представим, что операционисты разделены на категории, и каждая категория операционистов обслуживает свой набор операций: одни - самые быстрые операции, вторые - операции средней длительности, а третьи - самые долгие операции.
Для клиента, пришедшего в отделение за 5-минутной операцией, можно легко рассчитать примерное время ожидания.

И это среднее время будет очень близко к реальному, потому что в очереди будут только клиенты с близкой друг к другу длительностью обслуживания (например, от 0 до 8 минут), и в ней никогда не будет клиентов с 40-минутными операциями. Именно поэтому "средневзвешенная длительность операции" позволяет получить оценку наиболее вероятного времени ожидания. В частности, клиент с 3-минутной операцией, просидев в очереди 10 минут, может легко заметить, что за это время 3 операциониста обслужили 5 клиентов, то есть средневзвешенное время равно 6 минут. И именно исходя из этой цифры, он должен оценивать оставшееся время своего ожидания.
Допустим, в очереди осталось 5 клиентов, тогда время ожидания составит 5 клиентов * 6 минут / 3 операциониста = 10 минут.
Однако случайность есть случайность, и нашему герою не повезло - все оставшиеся клиенты будут обслуживаться максимальное время (8 минут), и в этом случае время ожидания будет равно 5 * 8 / 3 = 13 мин 20 сек. Проще говоря, в самом худшем случае время ожидания будет всего на 3 минуты больше расчетного.
Если же вернуться к нашему исходному примеру, то при очереди длиной в 3 человека клиент всегда будет ждать не более 25 минут, а вероятнее всего около 18 минут.

Согласитесь подождать в быстротекущей и полностью прогнозируемой очереди лишние 7 минут при самом худшем (и очень редком) раскладе - это намного лучше, чем ждать 40 минут и все это время вообще не знать, сколько еще осталось ждать.