Медиана

Медиана — определение

Медиана ряда чисел

В статистике часто приходится обобщать большой объем информации одним числом. Обычно для этого используют три базовых инструмента – это среднее арифметическое, медиана и мода. Как и зачем их находить – расскажем далее. 

В отличие от среднего арифметического, медиана устойчива к выбросам. Что это значит? Это значит, что единичные, очень большие или очень маленькие значения (аномалии) не будут сильно влиять на значение медианы. 

Чтобы было понятнее, рассмотрим пример.

Представьте, что мы считаем среднюю зарплату в небольшой компании. Здесь работают десять сотрудников с зарплатой 50 000 рублей и один директор с зарплатой 500 000 рублей.

Если мы посчитаем среднюю зарплату с помощью среднего арифметического, то картина будет следующей:

(10 * 50 000 + 500 000) / 11 = 90 909 рублей.

В то время как значение медианы будет равняться 50 000 рублей.

Среднее арифметическое сильно искажено высокой зарплатой директора и не отражает реальную картину. Медиана же показывает, что большинство сотрудников получают 50 000 рублей. Так картина выглядит более реалистичной. 

Займ с быстрым решением

Одна заявка сразу в несколько МФО — выше шанс одобрения.

Подберите займ с быстрым

Как найти медиану

Для начала нужно упорядочить все числа в медиану ряда чисел по возрастанию (или убыванию). 

Затем посчитать, сколько всего чисел в вашем наборе (обозначим это количество как n).

Медиана при нечетном количестве значений

Если n нечетное: медиана – это число, стоящее на позиции (n + 1) / 2.

Для дискретного ряда с нечетным количеством наблюдений (n):

Me = x((n+1)/2),

где x((n+1)/2) — значение элемента, находящегося в позиции (n+1)/2 в упорядоченном ряду. 

Медиана при четном количестве значений

Если n четное: медиана – это среднее арифметическое двух чисел, стоящих на позициях n / 2 и (n / 2) + 1.

Для дискретного ряда с четным количеством наблюдений (n):

Me = (x(n/2) + x(n/2+1)) / 2,

где x(n/2) и x(n/2+1) — значения элементов, находящихся в позициях n/2 и n/2+1 в упорядоченном ряду. 

Теперь к примерам:

Пусть дан нечетный ряд: 1, 3, 5, 7, 9. Здесь n = 5. Медиана = (5 + 1) / 2 = 3 (число на 3-й позиции).

Четный ряд: 2, 4, 6, 8. Здесь n = 4. Медиана = (4 / 2 = 2, (4 / 2) + 1 =3) (4 + 6) / 2 = 5 (среднее арифметическое чисел на 2-й и 3-й позициях).

Медиана в статистике

Медиана в статистике особенно полезна в тех случаях, когда данные не распределены равномерно и содержат «выбросы». 

Представьте себе анализ цен на квартиры в городе N:

Большинство квартир стоят в диапазоне от 3 млн до 5 млн рублей. Но есть несколько элитных жилплощадей стоимостью 50 млн рублей. Использование среднего арифметического цен покажет нереалистичную цифру. Медиана же даст более адекватное представление о типичной стоимости жилья. 

Мода и медиана

Вместе с медианой в статистике часто используется мода. Мода – это самое часто встречающееся значение в наборе данных.

Здесь тоже будет проще объяснить на примере:

Есть ряд чисел 1, 2, 2, 3, 4, 2, 5. Мода здесь будет равна двум (потому что двойка встречается чаще других чисел).

Мода и медиана дают разные представления о данных и дополняют друг друга. 

Медиана: главное

• Медиана – это устойчивый и информативный показатель центральной тенденции, который особенно полезен при анализе данных с «выбросами» или неравномерным распределением. 
• Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части.
• Медиана показывает серединное значение и не зависит от крайних чисел в ряду.
• В отличие от среднего арифметического, медиана устойчива к выбросам и аномальным значениям. При анализе доходов, цен и других неравномерных данных медиана отражает более реалистичную картину.
• Для нахождения медианы сначала нужно упорядочить данные и определить их количество.
• При нечетном числе значений медианой является элемент, стоящий в середине ряда.
• При четном числе значений медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
• Медиана часто используется вместе с модой и средним арифметическим для комплексного анализа данных.