Линейное уравнение

Линейное уравнение — это

Уравнение — это математическое равенство, в котором есть неизвестное число — переменная. Чтобы решить уравнение, нужно найти такое значение переменной, при котором равенство становится верным.

Пример:

5+x=9

Здесь x — неизвестное число. Если подставить x=4, то получится:

5+4=9

Так как равенство верное, число 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Линейное уравнение — это уравнение, в котором:

• переменная находится только в первой степени;
• нет произведений переменных или корней.

Примеры линейных уравнений:

3x - 7 = 2;

y + 5/3 = 0

Формы записи линейного уравнения

Линейное уравнение можно записать в двух формах.

Общий вид:

a1 * x1 + a2 * x2 + ... + an * xn + b = 0

Канонический вид:

a1 * x1 + a2 * x2 + ... + an * xn = -b,

где:

• x1, x2, ..., xn — переменные (неизвестные);
• a1, a2, ..., an, b — коэффициенты (заданные числа).

Важно: хотя бы один из коэффициентов a1, a2, ..., an должен быть ненулевым, иначе уравнение не будет линейным.

Как решать линейные уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить два основных правила: правило переноса и правило деления.

Правило переноса

При переносе числа или выражения из одной части уравнения в другую, его знак меняется на противоположный.

Пример:

Решим уравнение:

x + 4 = 9

Переносим 4 из левой части в правую, меняя знак:

x = 9 - 4

Вычисляем:

x = 5

Проверка:

Подставляем найденное значение в исходное уравнение:

5 + 4 = 9. Все верно.

Правило деления

Левую и правую часть уравнения можно разделить на одно и то же число, чтобы упростить вычисления.

Пример:

Решим уравнение:

5x = 15

Разделим обе части на 5:

x = 15 / 5

Вычисляем:

x = 3

Ответ: x = 3.

Если перед скобками стоит минус, его нужно убрать, поменяв знаки внутри скобок на противоположные. Это поможет избежать ошибок.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

1. Если есть скобки, раскрываем их.
2. Переносим все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, остальные числа — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Преобразуем уравнение к виду ax = b.
5. Делим обе части на коэффициент при неизвестной.

Некоторые уравнения не имеют решений, если получается, например, неверное равенство 0 = 5. Если в процессе вычислений получается x = 0, это нормальный результат — ноль является таким же числом, как и остальные.

Запомнив этот алгоритм, можно решить любое простое линейное уравнение.

Примеры решения линейных уравнений

Пример 1

Решите уравнение:

3(x - 2) = 2x + 5

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части:
   
   3x - 6 = 2x + 5
2. Перенесем все слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую:
   
   3x - 2x = 5 + 6
3. Приводим подобные:
   
   x = 11

Ответ: x = 11

Пример 2

Решите уравнение:

(x + 1) / 3 = (2x - 4) / 6

Решение:

1. Умножим обе части на 6 — общий знаменатель дробей:
   
   6 * (x + 1) / 3 = 6 * (2x - 4) / 6
2. Упрощаем:
   
   2(x + 1) = 2x - 4
3. Раскрываем скобки:
   
   2x + 2 = 2x - 4
4. Переносим слагаемые:
   
   2 = -4

Такого быть не может, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

Пример 3

Решите уравнение:

5(x - 3) - 2(x + 4) = 6

Решение:

1. Раскроем скобки:
   
   5x - 15 - 2x - 8 = 6
2. Приводим подобные слагаемые:
   
   3x - 23 = 6
3. Переносим -23 в правую часть:
   
   3x = 6 + 23
4. Считаем:
   
   3x = 29
5. Делим на 3:
   
   x = 29 / 3

Ответ: x = 29 / 3

Пример 4

Решите уравнение:

2x / 5 + 1 = x / 3 + 4

Решение:

1. Умножим обе части на 15 — общий знаменатель дробей:
   
   15 * (2x / 5) + 15 * 1 = 15 * (x / 3) + 15 * 4
2. Сокращаем дроби:
   
   6x + 15 = 5x + 60
3. Переносим 5x в левую часть, 15 — в правую:
   
   6x - 5x = 60 - 15
4. Упрощаем:
   
   x = 45

Ответ: x = 45

Полезная информация о линейных уравнений для отличников

Всегда ли линейное уравнение имеет решение?

Линейное уравнение с одной переменной записывается в виде:

ax + b = 0,

где a — коэффициент при переменной, а b — свободный член.

При решении такого уравнения возможны три случая:

1. Если a ≠ 0, уравнение имеет единственный корень.
   
   Решение находится по формуле:
   
   x = -b / a
   
   Пример:
   
   Решим уравнение 2x + 6 = 0.
   
   Перенесем 6 в правую часть: 2x = -6.
   
   Разделим обе части на 2: x = -3.
   
   Ответ: x = -3.
2. Если a = 0 и b = 0, уравнение принимает вид 0 = 0.
   
   Это верное равенство при любом значении x, значит, корнем является любое число.
   
   Пример:
   
   Уравнение 0x = 0 верно при любом x.
   
   Ответ: любое число.
3. Если a = 0, но b ≠ 0, уравнение принимает вид 0 = b.
   
   Такого быть не может, значит, уравнение не имеет решений.
   
   Пример:
   
   Рассмотрим уравнение 0x + 5 = 0. Оно превращается в 5 = 0, что неверно.
   
   Ответ: уравнение не имеет корней.

Так, у линейного уравнения может быть один корень, бесконечно много решений или вообще ни одного.

Случаи решения линейного уравнения

Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид:

ax + b = 0,

где a и b — числа, а x — неизвестная переменная.

В зависимости от значений коэффициентов a и b возможны три случая.

Случай 1: уравнение имеет единственный корень

Условие: a ≠ 0, b — любое число.

Если коэффициент при переменной a не равен нулю, то уравнение можно решить по формуле:

x = -b / a

Пример:

Решим уравнение 5x - 10 = 0.

Переносим -10 в правую часть:

5x = 10

Делим обе части на 5:

x = 10 / 5 = 2

Ответ: x = 2.

Случай 2: уравнение имеет бесконечно много решений

Условие: a = 0, b = 0.

Если подставить a = 0 и b = 0, то уравнение превращается в:

0x = 0,

что всегда верно, независимо от значения x.

То есть любое число подходит в качестве решения.

Пример:

Уравнение 0x = 0 верно для любого x.

Ответ: любое число.

Случай 3: уравнение не имеет решений

Условие: a = 0, b ≠ 0.

В этом случае уравнение превращается в:

0x = b,

что невозможно, так как 0 * x всегда равно 0, а не b.

Пример:

Рассмотрим уравнение 0x + 7 = 0.

Оно принимает вид 7 = 0, что невозможно.

Ответ: решений нет.

Так, 

• если a ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень.
• если a = 0 и b = 0 — уравнение имеет бесконечно много решений.
• если a = 0 и b ≠ 0 — уравнение не имеет решений.