Таблица степеней

Степень числа — это

Представьте, что вам нужно посчитать, сколько клеточек будет на шахматной доске. Можно, конечно, сложить 8 рядов по 8 клеток. Но есть способ проще — это 8 умножить на 8, то есть возвести 8 во вторую степень. Именно так мы и записываем: 8². А если нужно узнать объем кубического аквариума со стороной 3 дециметра, мы возводим 3 в третью степень: 3³. Это и есть та самая степень числа — удобная математическая запись, которая показывает, сколько раз одно число умножили само на себя. Первое число (которое умножают) называют основанием, а маленькая цифра сверху — показателем степени. Например, в записи 5⁴ основание — это 5, а показатель — 4. Это значит: 5 × 5 × 5 × 5.

Если говорить совсем просто, степень числа — это короткая запись для умножения одного и того же числа несколько раз подряд. Та самая маленькая цифра сверху говорит нам, сколько раз нужно это сделать. Возьмем 2³. Цифра 3 вверху — показатель. Она указывает, что двойку нужно взять в качестве множителя три раза: 2 × 2 × 2. Перемножив, получаем 8. Вот и весь смысл.

Когда вы видите 10⁶, сразу понятно, что речь идет об одном миллионе, без долгого выписывания шести нулей. Понимание этой записи — первый шаг к комфортной работе с большими числами и формулами.

Читать также

Таблица умножения

Ссылка

Таблица степеней от 1 до 10

Чтобы не вычислять каждый раз заново, удобно пользоваться готовой таблицей. Перед вами универсальная таблица степеней для чисел от одного до десяти, возведенных в степени от первой до пятой. Эти значения встречаются чаще всего в школьных задачах и бытовых расчетах.

Таблица степеней от 1 до 10.

Пользуясь этой таблицей степеней, можно быстро найти, например, что 7 в квадрате (то есть во второй степени) равно 49, а 4 в кубе (в третьей степени) — 64.

Свойства степеней

Работать со степенями чисел становится еще легче, если знать несколько простых правил — свойств степеней. Они помогают упрощать вычисления.

Свойство 1: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается без изменений, а показатели степеней складываются. Считаем по формуле

am × an = am + n, где a — любое число, m, n — любые натуральные числа.

Например, 2³ × 2². Вместо того чтобы считать 8 × 4, можно просто сложить показатели степеней: 3 + 2 = 5. Получается 2⁵, что равно 32. 

Свойство 2: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается без изменений, а показатели степеней вычитаются. am : an = am — n, где a — любое число (кроме 0), m, n — любые натуральные числа.

Допустим, 5⁴ нужно разделить на 5². Если поделить 625 на 25, получится 25. Но можно поступить умнее: вычесть показатели (4 — 2 = 2) и получить 5², то есть те же 25. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

Свойство 3: при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели перемножаются. (am) n = am × n

Что такое (3²)³? Это то же самое, что 3² × 3² × 3². Вместо долгого умножения 9 × 9 × 9 просто перемножим показатели: 2 × 3 = 6. Значит, (3²)³ = 3⁶ = 729. 

Свойство 4: при умножении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями, основания перемножаются, а показатель остается прежним. an × bn = (a × b)n. Например, 23 × 53 = (2 × 5) 3 = 103 = 1000.

Свойство 5: при делении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями, основания делятся, а показатель остается прежним. an : bn = (а : b) n. Например, 62 : 32 = (6 : 3) 2= 22 = 4.

Эти нехитрые приемы здорово экономят время и на контрольных, и в жизни.

Ноутбук в кредит или рассрочку

Вы можете найти подходящие предложения от банков на разные модели ноутбуков

Рассчитать кредит

Таблица степеней числа 1

С единицей все предельно просто. Какое бы большое число вы ни поставили в качестве показателя, результат всегда останется один. Единица, умноженная сама на себя сколько угодно раз, всегда даст единицу. Это уникальное свойство, которое полезно помнить.

Таблица степеней для единицы.

Таблица степеней числа 2 

Здесь легко заметить закономерность: каждое следующее значение — это предыдущее, умноженное на два.

Таблица степеней для 2. 

Таблица степеней числа 3

Тройка в степени также дает интересную и быстрорастущую последовательность. Эти числа часто встречаются в геометрии, например, при вычислении объема куба.

 Таблица степеней для 3.

Таблица степеней числа 4

Четверка — это квадрат двойки (2² = 4). Поэтому ее степени тоже можно вычислять через степени двойки, но проще посмотреть в готовую таблицу.

Таблица степеней для 4. 

Таблица степеней числа 5

Степени пятерки имеют свою изящную закономерность: если посмотреть на результаты, можно увидеть, как в конце чисел появляются 5 или 25. Это числа, которые легко умножать в уме.

Таблица степеней для 5. 

Таблица степеней числа 6

Для числа шесть также есть своя последовательность. Эти значения полезно знать для решения различных практических задач.

 Таблица степеней для 6.

Таблица степеней числа 7

Семерка — простое число, и ее степени растут быстро. Готовая таблица значений степеней избавляет от необходимости запоминать эти числа.

 Таблица степеней для 7.

Таблица степеней числа 8

Восьмерка — это 2³, поэтому ее степени тесно связаны со степенями двойки. Это хорошо видно по результатам в таблице.

 Таблица степеней для 8.

Таблица степеней числа 9

Девятка — это квадрат числа три (3² = 9). Зная степени тройки, можно вычислить и степени девятки, но для наглядности приведем отдельную таблицу.

Таблица степеней для 9. 

Таблица степеней числа 10

Степени десятки — самые простые для запоминания и самые наглядные. Показатель степени просто показывает, сколько нулей нужно приписать к единице. 10³ — это тысяча (1 и три нуля), 10⁶ — миллион.

Таблица степеней для 10. 

Примеры вычисления степеней

Иногда нужно быстро вспомнить конкретное значение, не изучая всю таблицу целиком. Вот несколько популярных примеров, которые часто спрашивают в школе.

4 в третьей степени (4³): это 4 × 4 × 4 = 64.

5 в 3 степени (5³): равняется 5 × 5 × 5 = 125.

9 во второй степени (9²): то же самое, что 9 × 9 = 81.