Площадь треугольника

Что такое площадь треугольника

Площадь треугольника — это величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура. 

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя точками, которые не лежат на одной прямой, и отрезками, соединяющими эти точки попарно. Эти отрезки называются сторонами, а точки пересечения — вершинами треугольника.

Знание площади треугольника необходимо для решения задач в геометрии, расчетов земельных участков, строительства и инженерных проектов. Этот параметр помогает оценить размеры поверхности и выполнять различные вычисления в прикладных науках.

Прежде чем приступить к расчетам, нужно изучить основные понятия.

• Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Треугольник ограничивает часть плоскости.
• Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов равен 90 градусам.
• Площадь треугольника — это величина части плоскости, которую занимает треугольник. Единицей измерения площади является квадрат с длиной стороны, равной единице измерения отрезков. Например, если длина измеряется в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах (см²).
• Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
• Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, расположенная напротив прямого угла.
• Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

В прямоугольном треугольнике катеты одновременно являются высотами друг для друга.

Как найти площадь треугольника

Через сторону и высоту

Площадь треугольника вычисляется по следующей основной формуле:

площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника и высоты, опущенной на эту сторону.

S = a * h / 2, где

• a — сторона треугольника;
• h — высота, проведенная к этой стороне.

Эта формула подходит для любых типов треугольников: прямоугольных, равносторонних и равнобедренных.

Найти площадь треугольника можно через сторону и высоту

Найдем площадь прямоугольного треугольника с катетами длиной 6 см и 8 см.

Используем формулу:

S = a * b / 2

S = 6 * 8 / 2 = 48 / 2 = 24 см²

Ответ: площадь треугольника равна 24 см².

Формула для прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг для друга, поэтому площадь вычисляется проще:

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

S = a * b / 2, где

• a и b — длины катетов.

По гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника также можно найти, если известны длина гипотенузы и высота, проведенная к ней:

S = 1/2 (c × h), где

• c — длина гипотенузы;
• h — высота, опущенная на гипотенузу.

Через три стороны

Если известны длины всех сторон треугольника, его площадь можно вычислить по формуле Герона:

S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)), где

• a, b, c — длины сторон треугольника;
• p — полупериметр треугольника, равный половине суммы всех сторон:

p = (a + b + c) / 2

Найти площадь треугольника можно по трем сторонам

Пример расчета

Найдем площадь треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см.

1. Запишем значения сторон:
   • a = 3 см
   • b = 4 см
   • c = 5 см
2. Найдем полупериметр:

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6 см

1. Подставим значения в формулу Герона:

S = √(6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5))

S = √(6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1)

S = √36 = 6 см²

Ответ: площадь треугольника равна 6 см².

Через синус угла

Площадь треугольника можно найти, зная две его стороны и угол между ними. Формула имеет вид:

S = 1/2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(γ), где

• a и b — длины сторон треугольника;
• γ — угол между этими сторонами.

Найти площадь треугольника можно по синусу угла

Рассмотрим треугольник ABC с углом γ между сторонами AB и AC.

1. Проведем высоту AH из вершины A на сторону BC.
2. В прямоугольном треугольнике ABH высота AH равна:

AH = AB ⋅ sin(γ)

1. По формуле площади треугольника:

S = 1/2 ⋅ основание ⋅ высота

Подставим в формулу:

S = 1/2 ⋅ AC ⋅ AB ⋅ sin(γ)

Таким образом, формула площади треугольника доказана.

Пример расчета

Найдем площадь треугольника, у которого стороны равны 8 см и 10 см, а угол между ними — 30°.

1. Подставим значения в формулу:

S = 1/2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ sin(30°)

1. Синус 30° равен 0,5, поэтому

S = 1/2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 0,5 = 20 см²

Ответ: площадь треугольника равна 20 см².

Через радиус описанной окружности

Площадь треугольника можно найти, если известны длины всех его сторон и радиус описанной окружности. Формула выглядит так:

S = (a ⋅ b ⋅ c) / (4R), где

• a, b, c — длины сторон треугольника;
• R — радиус описанной окружности.

Найти площадь треугольника можно через радиус описанной окружности

Найдем площадь треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, если радиус описанной окружности равен 10 см.

1. Запишем значения:
   • a = 3 см
   • b = 4 см
   • c = 5 см
   • R = 10 см
2. Подставим значения в формулу:

S = (3 ⋅ 4 ⋅ 5) / (4 ⋅ 10)

S = 60 / 40

S = 1,5 см²

Ответ: площадь треугольника равна 1,5 см².

Через радиус вписанной окружности

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, зная длину гипотенузы и радиус вписанной окружности:

S = r ⋅ (r + c), где

• r — радиус вписанной окружности;
• c — длина гипотенузы.

Также найти площадь треугольника можно найти по радиусу вписанной окружности

Найдем площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 см и радиусом вписанной окружности 4 см.

1. Запишем значения:
   • r = 4 см
   • c = 13 см
2. Подставим значения в формулу:

S = 4 ⋅ (4 + 13)

S = 4 ⋅ 17 = 68 см²

Площадь через отрезки гипотенузы

Если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит гипотенузу, то площадь можно найти по формуле:

S = c₁ ⋅ c₂, где

• c₁ и c₂ — отрезки гипотенузы.

Пусть гипотенуза разделена на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найдем площадь:

S = 5 ⋅ 12 = 60 см².

Ответ:

• Площадь по радиусу и гипотенузе: 68 см²
• Площадь по отрезкам гипотенузы: 60 см²

Через две стороны и угол между ними

Если известны одна сторона треугольника и два угла, которые к ней прилегают, можно найти площадь с помощью формулы: S = (a² ⋅ sin(β) ⋅ sin( γ)) : (2 ⋅ sin(β + γ))

где

• a — длина известной стороны.
• β и γ — углы, которые находятся по сторонам от этой стороны.

Найти площадь треугольника можно, зная его углы

Найдем площадь треугольника, если длина одной стороны равна 8 см, а два угла рядом с ней — 40° и 60°.

Решение:

1. Запишем, что дано:
   • a=8 см
   • β=40°
   • γ=60°
2. Подставим значения в формулу: S = (8² ⋅ sin(40°) ⋅ sin(60°)) : (2 ⋅ sin(40° + 60°))

3. Посчитаем, используя значения синусов: S = (64 ⋅ 0,6428 ⋅ 0,8660) : (2 ⋅ sin(100°)

4. Синус 100° примерно равен 0,9848:

Ответ: площадь треугольника примерно равна 18,1 см².

Онлайн калькуляторы площади треугольника

Чтобы вычислить площадь треугольника с помощью онлайн-калькулятора, нужно ввести известные параметры фигуры, например, длины сторон, углы или радиус окружности. После ввода данных калькулятор автоматически производит расчет по нужной формуле. В зависимости от функционала калькулятора можно выбрать подходящий метод вычисления: через основание и высоту, по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними или с использованием радиусов вписанной или описанной окружности.

Некоторые сервисы предоставляют подробные пошаговые объяснения расчетов, что помогает лучше понять ход решения.