Теорема Виета

Что такое теорема Виета

Когда школьник впервые сталкивается с квадратными уравнениями, ему кажется, что мир состоит из поиска загадочного дискриминанта. Но математика полна сюрпризов, и один из самых элегантных — теорема Виета. По сути, это правило, которое связывает корни уравнения с его коэффициентами, минуя долгие вычисления. 

Представьте, что вы решаете уравнение x² - 5x + 6 = 0. Можно, конечно, честно посчитать дискриминант. А можно заметить, что два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6, — это 2 и 3. Вот и все, корни найдены за пару секунд в уме. Именно в этом главная прелесть теоремы: она превращает решение многих уравнений из рутинного вычисления в небольшую логическую головоломку. Ее применяют для быстрой проверки корней, для составления уравнений с заданными решениями и просто для того, чтобы почувствовать красоту и симметрию алгебры.

Ноутбук в кредит или рассрочку

Рассрочка и кредит на разные модели Ноутбуков

Рассчитать кредит

Формула Виета

Давайте запишем это правило точно и наглядно. Пусть у нас есть приведенное квадратное уравнение, где старший коэффициент a = 1: x² + px + q = 0. Тогда теорема Виета утверждает, что если x₁ и x₂ — его корни, то они связаны с коэффициентами p и q двумя простыми соотношениями.

Формулы Виета выглядят так: x₁ + x₂ = -p x₁ * x₂ = q

Разберемся, что здесь означает каждая часть.

Буквами x₁ и x₂ мы обозначаем первый и второй корень уравнения. 

Коэффициент p — это число, стоящее перед x, а q — свободный член, число без переменной. 

Знак минус «-» перед p в первой формуле — важная деталь, которую часто забывают. Минус показывает, что сумма корней равна не самому коэффициенту p, а ему с противоположным знаком. 

Например, в уравнении x² - 7x + 12 = 0 коэффициент p равен -7, поэтому сумма корней будет -(-7) = 7. А произведение корней равно свободному члену, то есть 12. Какие два числа в сумме дают 7, а при умножении 12? Правильно, 3 и 4. Это и есть корни.

Если же уравнение не приведенное, то есть a ≠ 1, например, 2x² - 8x + 6 = 0, то формулы Виета выглядят немного иначе, но идея та же: x₁ + x₂ = -b/a, а x₁ * x₂ = c/a. Это и есть общая формула теоремы Виета для любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Доказательство теоремы Виета

Доказательство теоремы Виета основано на разложении квадратного трехчлена на множители, если его корни уже известны. Давайте пройдем этот путь по шагам, чтобы все стало понятно.

Предположим, мы нашли корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Назовем их x₁ и x₂. Тогда, по известному свойству, сам трехчлен можно представить в виде: a(x - x₁)(x - x₂). Если раскрыть скобки в этом произведении, получится: a(x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂).

Теперь вспомним, как выглядит исходное уравнение: ax² + bx + c = 0. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x в двух этих записях. Перед x² в обоих случаях стоит коэффициент a. Перед x в первом выражении у нас стоит -a(x₁ + x₂), а во втором — просто b. Значит, b = -a(x₁ + x₂). Разделив обе части этого равенства на a (помним, что a ≠ 0), получаем как раз первую формулу: x₁ + x₂ = -b/a.

Теперь посмотрим на свободные члены. В разложении свободный член равен a * x₁x₂, а в исходном уравнении — просто c. Следовательно, c = a * x₁x₂, откуда легко получается вторая формула: x₁ * x₂ = c/a. Вот и все доказательство. Оно не требует сложных вычислений, зато наглядно показывает, откуда берутся эти удобные связи между корнями и коэффициентами. Такое доказательство вполне по силам понять школьнику 8-го класса, изучающему алгебру.

Как решать по теореме Виета

Алгоритм применения теоремы Виета на практике довольно прост и часто оказывается быстрее, чем классическое решение через дискриминант. Особенно это заметно, когда коэффициенты в уравнении — небольшие целые числа. Давайте разберем пошагово, как пользоваться этой теоремой.

Шаг 1. Первым делом уравнение нужно привести к стандартному виду ax² + bx + c = 0 и убедиться, что оно квадратное. 

Шаг 2. Затем полезно проверить, является ли оно приведенным (a = 1). 

Шаг 3. Если да, то применяем простейшие формулы: сумма корней равна -b, произведение равно c. 

Шаг 4. Дальше начинается небольшой подбор. Нужно в уме найти такие два числа, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Часто эти числа лежат на поверхности. Например, для уравнения x² + 5x + 6 = 0 ищем пару чисел, дающих в сумме -5 (потому что b=5, а сумма равна -b, то есть -5), а в произведении 6. Подходит -2 и -3.

Сравним этот метод с решением через дискриминант. Дискриминант — универсальный солдат: он работает всегда и для любых чисел, в том числе дробных и иррациональных. Но его вычисление может быть громоздким. Теорема Виета — идеальна для устного счета, для проверки уже найденных корней и для случаев, когда в условии задачи корни «красивые». Однако у нее есть ограничение: она эффективна, когда корни являются целыми или, в крайнем случае, рациональными числами. Если корни иррациональные, подбором их не угадаешь.

Примеры на теорему Виета

Чтобы закрепить понимание, разберем несколько примеров с пошаговым решением.

Пример 1. Решим уравнение x² - 8x + 12 = 0. Здесь a = 1, b = -8, c = 12.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = 8, x₁ * x₂ = 12. 

Какие два числа в сумме дают 8, а при умножении 12? Это 2 и 6. 

Проверим: 2 + 6 = 8, 2 * 6 = 12. Все сходится. 

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 6.

Пример 2. Решим уравнение x² + x - 6 = 0. Сумма корней = -1, произведение = -6. 

Нужно найти два числа, которые в сумме дают -1, а при умножении -6. 

Произведение отрицательное, значит, корни разных знаков. 

Пары, дающие в произведении 6: (1, 6), (2, 3). 

Из них чисел с разными знаками сумма -1 дает пару (-3, 2). Действительно, -3 + 2  -1, -3 * 2 = -6. 

Ответ: x₁ = -3, x₂ = 2.

Пример 3. Рассмотрим уравнение 2x² - 9x + 4 = 0. Оно не приведенное (a = 2). 

Применим общие формулы: x₁ + x₂ = -(-9)/2 = 9/2 = 4,5, x₁ * x₂ = 4/2 = 2. 

Подобрать такие числа в уме сложнее, но можно. Это 4 и 0,5. 

Проверим: 4 + 0,5 = 4,5, 4 * 0,5 = 2. Корни найдены. 

В таких случаях теорема Виета отлично служит для проверки корней, найденных через дискриминант.

Обратная теорема Виета

Математика часто работает в обе стороны. Если прямая теорема Виета позволяет по коэффициентам уравнения узнать что-то о его корнях, то обратная теорема делает ровно наоборот. Ее формулировка звучит так: если числа m и n таковы, что m + n = -p и m * n = q, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

В чем же отличие обратной теоремы от прямой? Прямая теорема говорит: «Если есть уравнение и у него есть корни, то для них выполняются такие-то соотношения». Обратная теорема утверждает: «Если есть два числа, удовлетворяющие этим соотношениям, то они точно являются корнями соответствующего уравнения».

Применяется обратная теорема Виета чаще всего в двух случаях. 

Первый — для составления квадратного уравнения, если нам известны его корни. Допустим, нужно составить уравнение, корни которого равны 5 и -1. По обратной теореме, коэффициент p = -(5 + (-1)) = -4, а свободный член q = 5 * (-1) = -5. Значит, искомое уравнение: x² - 4x - 5 = 0. 

Второй случай — для проверки, правильно ли мы нашли корни. Подставили предполагаемые числа в оба условия (сумму и произведение), если оба равенства выполняются — корни найдены верно.

Теорема Виета: главное

• Здесь собрали все самое важное в одну короткую шпаргалку. Формулы теоремы Виета — это два золотых правила:

1. Для уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ * x₂ = q.
2. Для общего уравнения ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ * x₂ = c/a.

• Пользоваться теоремой можно, когда уравнение квадратное и его корни предполагаются «хорошими» (чаще всего целыми).
• Прямую теорему используют для быстрого решения уравнений подбором или проверки корней.
• Обратную теорему применяют, когда нужно составить уравнение по заданным корням или убедиться, что найденная пара чисел действительно является решением.
• Главное — помнить про знак «минус» в формуле для суммы и то, что теорема работает только для приведенных квадратных уравнений.
• Если старший коэффициент не равен единице, не забудьте разделить на него.