Натуральные числа

Что такое натуральные числа

Разбираемся, какие числа относятся к натуральным, почему вокруг нуля до сих пор ведутся споры, и поговорим об однозначных числах — той самой базе, с которой начинается знакомство с арифметикой.

Когда вы пересчитываете монетки в кошельке, когда смотрите, сколько страниц осталось до конца книги, когда считаете этажи в лифте, вы работаете именно с ними.

Строго говоря, натуральные числа — это самый естественный, интуитивно понятный математический инструмент, который дала нам природа. Они не требуют сложных объяснений. Один, два, три, четыре… Этот ряд знаком каждому с детства, с тех самых пор, когда мы впервые учились пересчитывать игрушки или пальчики на руке. В отличие от дробей, отрицательных чисел или того же нуля, натуральные числа всегда обозначают что-то целое и реальное. Если у вас в кармане три яблока, вы не скажете «У меня минус два яблока» или «Полтора яблока». Вы скажете: «У меня три яблока». Вот это «три» и есть натуральное число. Простыми словами: натуральные числа отвечают на вопрос «сколько?» применительно к отдельным целым объектам. 

Чем же натуральные числа отличаются от других? К примеру, если мы разрежем яблоко пополам и возьмем половину, то это ½ яблока. Это уже не натуральное число. Если температура на улице опустилась до минус 5 градусов, мы имеем дело с отрицательным числом, которое тоже не является натуральным. А если в коробке пусто, то мы можем сказать, что там ноль предметов. Вопрос о том, считать ли ноль натуральным числом, — отдельная история, к которой мы еще вернемся. Так, главные «конкуренты» натуральных чисел в мире математики — дроби, отрицательные числа и ноль — появляются, когда мы выходим за рамки простого подсчета целых предметов.

Вычет за платное обучение

Если ребенок проходит платные курсы, вы можете вернуть часть уплаченного НДФЛ

Подробнее

Какие числа называются натуральными

Давайте сформулируем признаки, по которым можно безошибочно определить, какие числа называются натуральными.

• Они всегда целые. Между 2 и 3 нет другого натурального числа. 
• Они всегда положительны. Натуральные числа обозначают наличие чего-либо, а не отсутствие или долг. 
• Они идут по порядку, начиная с самого первого. Каждое следующее натуральное число ровно на единицу больше предыдущего. 

Приведем конкретные примеры. Числа 1, 5, 103, 5684 — это классические натуральные числа. Мы можем представить один мяч, пять домов, 103 страницы в книге. А вот числа, которые не попадают в этот ряд: ноль (обсудим отдельно), минус семь, 3.14 (три целых четырнадцать сотых), ½ (одна вторая). Вы не можете встретить минус семь яблок в корзине или три целых и четырнадцать сотых ребенка в песочнице: это противоречит самому смыслу счета отдельных предметов.

Множество натуральных чисел

Все бесконечное количество этих чисел математики собрали в одну «коробку», которую называют множеством. Множество натуральных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой N. Это обозначение — международный язык математики, который понимают от Москвы до Пекина. Когда вы видите в учебнике или формуле символ N в математике, можете быть уверены — речь идет именно о натуральных числах: 1, 2, 3 и т. д. 

Самое удивительное свойство этого множества — его бесконечность. Ряд натуральных чисел не имеет конца. Какое бы огромное число вы ни назвали, например триллион, всегда можно прибавить единицу и получить триллион и один. Эта бесконечная череда чисел упорядочена: каждое число имеет свое строгое место. Число четыре всегда идет после трех, а после него всегда будет пять. Благодаря этому порядку мы можем не только считать, но и нумеровать: первый вагон, второй этаж, третья попытка.

Наименьшее натуральное число 

Если ряд упорядочен, логично спросить: с чего же он начинается? Какое число является наименьшим натуральным? Здесь в зависимости от контекста возможны два ответа. По классическому подходу, наиболее распространенному в российской школьной программе, наименьшее натуральное число — это единица (1). Именно с нее начинается отсчет предметов. Самое маленькое натуральное число — это первый кирпичик, с которого строится все здание математики. Почему не ноль? Потому что сложно представить себе счет «ноль, один, два…». Ноль, скорее, обозначает отсутствие предметов для счета, а сам счет начинается с наличия хотя бы одного.

Ноль — натуральное число или нет

Это, пожалуй, самый спорный вопрос в теме. Является ли ноль натуральным числом? Однозначного ответа, принятого всеми математиками мира, не существует. Сложилось два основных подхода.

Первый, традиционный для большинства школьных учебников России и многих стран, говорит: ноль не является натуральным числом. Среди аргументов: натуральные числа возникли из потребности считать предметы, а «ноль предметов» — это ситуация, когда считать нечего. Исторически понятие нуля появилось в математике значительно позже, чем понятие натурального числа. 

Второй подход, распространенный в современной математической логике, теории множеств и компьютерных науках, включает ноль в множество натуральных чисел. Это удобно для формализации и записи многих теорем. В этом случае множество начинается с нуля, а счет предметов по-прежнему ведется с одного.

Так что же правильно? И то, и другое. Главное — договориться. В конкретном учебнике, курсе или задании всегда оговаривается, какая точка зрения принята. В российских школах, как правило, придерживаются первого подхода: ноль не натуральное число. Однако, углубившись в высшую математику, вы можете легко перейти на вторую систему взглядов.

Однозначные натуральные числа

Давайте теперь поговорим о «младших» представителях этого бесконечного множества — однозначных числах. Что такое однозначные числа? Это числа, для записи которых нужна только одна цифра (от нуля до девяти). Однако мы помним о споре вокруг нуля, когда говорим именно об однозначных натуральных числах, поэтому ноль из этого списка мы исключаем. 

В конечном итоге полный список однозначных натуральных чисел состоит всего из девяти элементов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Это фундаментальный алфавит нашей числовой системы. Все гигантские числа, вроде миллионов и миллиардов, записываются с помощью этого ряда чисел. Их особенность в том, что они являются базой для построения всех остальных чисел. Изучая таблицу умножения, мы, по сути, изучаем взаимодействие именно этих девяти чисел между собой.

Натуральные числа: главное

• Натуральные числа — это числа, которые используют при подсчете предметов.
• К натуральным числам относят все целые положительные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности.
• Множество натуральных чисел обозначают латинской буквой N.
• Ряд натуральных чисел бесконечен: за каждым числом всегда следует следующее, большее на единицу.
• Наименьшее натуральное число — это единица (1).
• Ноль не является натуральным числом (согласно школьной программе России).
• Однозначные натуральные числа — это числа от одного до девяти. Все остальные натуральные числа — многозначные.
• Натуральные числа не могут быть дробями, отрицательными числами или нулем.
• Натуральные числа используют для счета предметов, нумерации и упорядочивания.

Источники

Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Математика. 5 класс. 

Н.Я. Виленкин и др. Математика. 5 класс.